Растяжение-сжатие.

Внутренние усилия при растяжении-сжатии.

Осевое (центральное) растяжение или сжатие прямого бруса вызывается внешними силами, вектор равнодействующей которых совпадает с осью бруса. При растяжении или сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы N. Продольная сила N в некотором сечении равна алгебраической сумме проекции на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. По правилу знаков продольной силы N принято считать, что от растягивающих внешних нагрузок возникают положительные продольные силы N, а от сжимающих — продольные силы N отрицательны (рис. 5).

Чтобы выявить участки стержня или его сечения, где продольная сила имеет наибольшее значение, строят эпюру продольных сил, применяя метод сечений, подробно рассмотренный в статье:

Анализ внутренних силовых факторов в статистически определимых системах

Ещё настоятельно рекомендую взглянуть на статью:

Расчёт статистически определимого бруса

Если разберёте теорию в данной статье и задачи по ссылкам, то станете гуру в теме «Растяжение-сжатие» =)

Напряжения при растяжении-сжатии.

Определенная методом сечений продольная сила N, является равнодействующей внутренних усилий распределенных по поперечному сечению стержня (рис. 2, б). Исходя из определения напряжений, согласно выражению (1), можно записать для продольной силы:

где σ — нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения стержня.

Чтобы определить нормальные напряжения в любой точке бруса необходимо знать закон их распределения по поперечному сечению бруса. Экспериментальные исследования показывают: если нанести на поверхность стержня ряд взаимно перпендикулярных линий, то после приложения внешней растягивающей нагрузки поперечные линии не искривляются и остаются параллельными друг другу (рис.6, а). Об этом явлении говорит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.

Так как все продольные волокна стержня деформируются одинаково, то и напряжения в поперечном сечении одинаковы, а эпюра напряжений σ по высоте поперечного сечения стержня выглядит, как показано на рис.6, б. Видно, что напряжения равномерно распределены по поперечному сечению стержня, т.е. во всех точках сечения σ = const. Выражение для определения величины напряжения имеет вид:

Таким образом, нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях растянутого или сжатого бруса, равны отношению продольной силы к площади его поперечного сечения. Нормальные напряжения принято считать положительными при растяжении и отрицательными при сжатии.

Деформации при растяжении-сжатии.

Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении (сжатии) стержня (рис.6, а). Под действием силы F брус удлиняется на некоторую величину Δl называемую абсолютным удлинением, или абсолютной продольной деформацией, которая численно равна разности длины бруса после деформации l1 и его длины до деформации l

Отношение абсолютной продольной деформации бруса Δl к его первоначальной длине l называют относительным удлинением, или относительной продольной деформацией:

При растяжении продольная деформация положительна, а при сжатии — отрицательна. Для большинства конструкционных материалов на стадии упругой деформации выполняется закон Гука (4), устанавливающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями:

где модуль продольной упругости Е, называемый еще модулем упругости первого рода является коэффициентом пропорциональности, между напряжениями и деформациями. Он характеризует жесткость материала при растяжении или сжатии (табл. 1).

Таблица 1

Модуль продольной упругости для различных материалов

Абсолютная поперечная деформация бруса равна разности размеров поперечного сечения после и до деформации:

Соответственно, относительную поперечную деформацию определяют по формуле:

При растяжении размеры поперечного сечения бруса уменьшаются, и ε’ имеет отрицательное значение. Опытом установлено, что в пределах действия закона Гука при растяжении бруса поперечная деформация прямо пропорциональна продольной. Отношение поперечной деформации ε’ к продольной деформации ε называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона μ:

Экспериментально установлено, что на упругой стадии нагружения любого материала значение μ = const и для различных материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5 (табл. 2).

Таблица 2

Коэффициент Пуассона.

Абсолютное удлинение стержня Δl прямо пропорционально продольной силе N:

Данной формулой можно пользоваться для вычисления абсолютного удлинения участка стержня длиной l при условии, что в пределах этого участка значение продольной силы постоянно. В случае, когда продольная сила N изменяется в пределах участка стержня, Δl определяют интегрированием в пределах этого участка:

Произведение (Е·А) называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).

Механические свойства материалов.

Основными механическими свойствами материалов при их деформации являются прочность, пластичность, хрупкость, упругость и твердость.

Прочность — способность материала сопротивляться воздействию внешних сил, не разрушаясь и без появления остаточных деформаций.

Пластичность — свойство материала выдерживать без разрушения большие остаточные деформации. Неисчезающие после снятия внешних нагрузок деформации называются пластическими.

Хрупкость — свойство материала разрушаться при очень малых остаточных деформациях (например, чугун, бетон, стекло).

Идеальная упругость — свойство материала (тела) полностью восстанавливать свою форму и размеры после устранения причин, вызвавших деформацию.

Твердость — свойство материала сопротивляться проникновению в него других тел.

Рассмотрим диаграмму растяжения стержня из малоуглеродистой стали. Пусть круглый стержень длинной l0 и начальным постоянным поперечным сечением площади A0 статически растягивается с обоих торцов силой F.

Диаграмма сжатия стержня имеет вид (рис. 10, а)

где Δl = l — l0 абсолютное удлинение стержня; ε = Δl / l0 — относительное продольное удлинение стержня; σ = F / A0 — нормальное напряжение; E — модуль Юнга; σп — предел пропорциональности; σуп — предел упругости; σт — предел текучести; σв — предел прочности (временное сопротивление); εост — остаточная деформация после снятия внешних нагрузок. Для материалов, не имеющих ярко выраженную площадку текучести, вводят условный предел текучести σ0,2 — напряжение, при котором достигается 0,2% остаточной деформации. При достижении предела прочности в центре стержня возникает локальное утончение его диаметра («шейка»). Дальнейшее абсолютное удлинение стержня идет в зоне шейки ( зона местной текучести). При достижении напряжением предела текучести σт глянцевая поверхность стержня становится немного матовой — на его поверхности появляются микротрещины (линии Людерса-Чернова), направленные под углом 45° к оси стержня.

Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.

Опасным сечением при растяжении и сжатии называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение. Допускаемые напряжения вычисляются по формуле:

где σпред — предельное напряжение (σпред = σт — для пластических материалов и σпред = σв — для хрупких материалов); [n] — коэффициент запаса прочности. Для пластических материалов [n] = [nт] = 1,2 … 2,5; для хрупких материалов [n] = [nв] = 2 … 5, а для древесины [n] = 8 ÷ 12.

Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.

Целью расчета любой конструкции является использование полученных результатов для оценки пригодности этой конструкции к эксплуатации при минимальном расходе материала, что находит отражение в методах расчета на прочность и жесткость.

Условие прочности стержня при его растяжении (сжатии):

При проектном расчете определяется площадь опасного сечения стержня:

При определении допускаемой нагрузки рассчитывается допускаемая нормальная сила:

Расчет на жесткость при растяжении и сжатии.

Работоспособность стержня определяется его предельной деформацией [ l ]. Абсолютное удлинение стержня должно удовлетворять условию:

Часто дополнительно делают расчет на жесткость отдельных участков стержня.

Следующая важная статья теории:

Изгиб балки

Изменение длины, закон Гука

Для того, чтобы иметь полную картину работы растянутого или сжатого стержня, необходимо уметь вычислять то, как будут под нагрузкой меняться его размеры:

• Продольный размер/изменение длины (удлинение при растяжении, укорочение при сжатии)
• Поперечный размер/изменение толщины (сужение при растяжении, утолщение при сжатии)

Сначала проанализируем изменение длины.

От чего же зависит удлинение стержня?

Снова вернёмся к диаграммам из опытов на растяжение. Напомню, нас интересует только начальная (линейная) часть графика.

Так как мы рассматриваем только прямой отрезок на графике, то его можно описать с помощью линейной функции:

Здесь в качестве y выступает приложенная сила P (размерность в Н), а в качестве x — удлинение ∆L (размерность в мм). Получаем:

Перезаписав эту формулу относительно удлинения, получим:

k — это коэффициент жёсткости стержня. Как видно из формулы, чем больше k, тем меньше стержень удлинится.

Допустим, перед нами стоит задача определить удлинение стержня при заданной растягивающей нагрузке. Но откуда взять коэффициент жёсткости k?

Для ответа на этот вопрос следует провести серию сравнительных опытов. Суть их такова, что надо прикладывать одну и ту же силу к почти одинаковым образцам и через различия в удлинениях сделать вывод о влиянии (или отсутствии такового) на коэффициент жёсткости тех факторов, которые были выбраны разными.

Допустим, что коэффициент жёсткости зависит от длины стержня L. Берём два почти идентичных стержня одинаковой толщины из одного и того же материала, только один, например, в два раза длиннее другого. Растягиваем их одинаковой силой. Так как длинный стержень, по сути, «содержит в себе» два коротких, то его удлинение также будет в два раза больше удлинения короткого стержня. Вывод из этого опыта: коэффициент жёсткости стержня зависит от его длины. Чем короче стержень, тем он жёстче.

Или другой опыт: возьмём два стержня одинаковой длины из одного и того же материала, только один стержень будет толще другого так, что площадь его поперечного сечения F будет в два раза больше площади поперечного сечения другого стержня. После растяжения их одной и той же силой можно заметить, что более тонкий стержень удлинится в два раза больше, чем более толстый. Отсюда вывод, что коэффициент жёсткости стержня зависит от площади поперечного сечения. Чем толще стержень, тем он жёстче.

Эти два опыта исчерпывающе показывают зависимость коэффициента жёсткости стержня от его геометрии. Однако коэффициент жёсткости зависит также и от материала этого стержня. Два одинаковых по форме стержня из стали и из дерева будут иметь совершенно разные коэффициенты жёсткости. Что именно в материалах создаёт такие различия — неизвестно.

Мы всё неизвестное в материале, что так или иначе вызывает различия в коэффициентах k, заключим в одну величину и обозначим её буквой E.

В итоге получим экспериментальную зависимость для коэффициента жёсткости :

Зная размерность жёсткости [k]=Н/мм, можно найти размерность E:

Эту величину впервые ввёл английский физик Томас Юнг.

Эта величина E называется модулем упругости материала при растяжении (или модулем Юнга), и она характеризует способность твёрдого тела упруго деформироваться при приложении к нему растягивающей силы.

По сути же, она является макроскопическим следствием микроскопических связей в веществе. Как же определить модуль упругости для того или иного материала?

Для начала запишем итоговую формулу для удлинения стержня:

Выразим отсюда модуль упругости:

Для определения модуля Юнга необходимо:

1. провести опыт на растяжение,
2. выбрать произвольную точку на начальном линейном участке,
3. определить удлинение в ней и соответствующую силу,
4. зная площадь поперечного сечения и длину стержня, вычислить модуль Юнга

Величины модулей упругости и плотности некоторых материалов:

Что касается сжатия, то при сравнении модулей Юнга при растяжении и сжатии большинства материалов, можно заметить незначительные различия в их величинах. Этими различиями часто пренебрегают.

Так как рассматривается только линейный участок, то и значения модулей Юнга соответствуют жёсткости материала на линейном участке.

Однако в инженерной практике бывают случаи, когда, например, напряжения в металле выходят за предел пропорциональности. Когда это происходит, то значения модуля Юнга начинают уменьшаться по сравнению со значением в упругой зоне.

В итоге мы имеем формулу для нахождения изменения длины при растяжении или сжатии:

Это — экспериментальный закон Гука. По этой формуле можно находить изменения длины в стержнях или колоннах, испытывающих осевое растяжение или сжатие. Однако, хотя данная формула и позволяет считать изменения длины для элементов под осевой нагрузкой, она является упрощением реальной картины происходящего. Что это означает? Поясню на примере:

Желая растянуть стержень, например, 100 килограммами, мы эти 100 килограмм будем прикладывать очень медленно. То есть сначала приложим только килограмм, потом два, три и т.д. вплоть до ста. Но ведь проблема в том, что при нагружении одним килограммом, стержень уже удлинится. То есть чтобы подсчитать удлинение при действии двух килограммов, придётся брать изначальную длину стержня, которая будет соответствовать длине растянутого одним килограммом стержня. И так далее. Но если вы проведёте точный расчёт даже для относительно мягкого алюминия, вы обнаружите, что различие между точным и приближённым расчётом будет ничтожно мало. Потому, на практике применяется приближённый расчёт.

То же самое и с площадью поперечного сечения. Стержень сужается не только в пластической зоне (где это сужение видно невооружённым глазом), но и в линейной (упругой), где это изменение можно отследить только с помощью точных приборов. А так как мы имеем дело в основном с линейной частью графика, то потому берётся изначальная площадь поперечного сечения. Это явление (сужение при удлинении) будет рассмотрено чуть позже.

Формулу для нахождения удлинений можно видоизменить, перейдя к относительным величинам.

Сила, приходящаяся на единицу площади — это напряжение, с которым уже имели дело:

Удлинение, приходящееся на единицу длины — это относительное удлинение. Обозначим эту величину греческой буквой ε:

В итоге получим:

Или

Это — закон Гука в относительной форме. Можно заметить, что размерность модуля Юнга — паскали, как и размерность напряжения. Исходя из этого, можно дать определение модулю Юнга, как фиктивному напряжению, при котором стержень удлинится на величину своей исходной длины. Но так как удлинения в конструкционных металлах просто ничтожны по сравнению с исходными длинами, то и модуль Юнга в разы больше, чем действующие напряжения.

Рассмотренные случаи являются лишь частными случаями осевого нагружения тела. Очень часто бывает так, что

• нужно учесть собственный вес вертикально расположенного тела (например, при очень большой длине);
• или тело может иметь переменное сечение по длине;
• или оно может быть составленным из нескольких разных тел вдоль оси;
• или же внешнее нагружение может меняться по длине;
• и так далее, случаев может быть множество

В качестве немного более общего примера решим задачу.

Задача: Определить удлинение конического бруса при действии собственного веса, если высота конуса равна L, диаметр основания равен D, вес единицы объёма материала равен γ (плотность тела с размерностью силы (ньютоны) поделённые на объём (кубические метры, миллиметры и т.п.)), модуль упругости материала равен E. Известно, что материал конуса при растяжении от собственного веса работает в пределах упругости и к нему применим закон Гука.

Решение:

Объём конуса определяется по формуле:

Вес конуса равен удельному весу материала, умноженному на объём конуса:

Введём систему координат и выделим элемент бесконечно малой длины dx на расстоянии x от вершины конуса

По свойству бесконечно малых величин, усилия и напряжения на верхней и нижней поверхности элемента от действия нижележащей массы будут равны.

При небольшом угле конуса можно сделать допущение, что растягивающие напряжения равномерно распределены по поперечному сечению (в реальности напряжения будут выше на краях). Нужно вывести выражение для растягивающего усилия для любого сечения на расстоянии x от вершины конуса. Диаметр любого сечения, отстоящего от вершины конуса на x можно найти из подобия треугольников.

Элемент длиной dx, площадью F(x) растягивается силой P(x). Требуется найти удлинение элемента dx:

Теперь нужно просуммировать удлинения всех элементов dx по высоте конуса L:

В итоговом выражении для удлинения отсутствует диаметр основания из-за сделанного нами допущения, которое справедливо только для конусов с малым углом (т.е. очень острых конусов). Для всех остальных конусов решение будет иметь более сложный вид.

В целом, суть решения всех задач по осевому растяжению/сжатию тел сводится к определению удлинений отдельных его частей/частиц и к итоговому их суммированию для получения общего удлинения. Для получения напряжения в любом поперечном сечении нужно найти силу, действующую в нём, и поделить её на площадь этого сечения.

Литература:

1. Renouard, «Histoire de la medicine» (П., 1948).
2. Moustafine R. I., Bukhovets A. V., Sitenkov A. Y., Kemenova V. A., Rombaut P., Van den Mooter G. Eudragit® E PO as a complementary material for designing oral drug delivery systems with controlled release properties: comparative evaluation of new interpolyelectrolyte complexes with countercharged Eudragit® L 100 copolymers. Molecular Pharmaceutics. 2013; 10(7): 2630–2641. DOI: 10.1021/mp4000635.
3. З.С. Смирнова, Л.М. Борисова, М.П. Киселева и др. Противоопухолевая эффективность прототипа лекарственной формы соединения ЛХС-1208 для внутривенного введения // Российский биотерапевтический журнал. 2012. № 2. С. 49.
4. https://xn--80axfaegeoa.xn--p1ai/Theory/Theory-3.html.
5. https://ukazov.ru/blog/izmenenie-dliny-zakon-guka/.
6. Moustafine R. I., Bobyleva V. L., Bukhovets A. V., Garipova V. R.,Kabanova T. V., Kemenova V. A., Van den Mooter G. Structural transformations during swelling of polycomplex matrices based on countercharged (meth)acrylate copolymers (Eudragit® EPO/Eudragit® L 100-55). Journal of Pharmaceutical Sciences. 2011; 100:874–885. DOI:10.1002/jps.22320.